quinta-feira, 30 de outubro de 2008

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Matematicamente, a raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala x. A raiz quadrada de x é simbolizada por √x. Por exemplo: porque 4 × 4 = 16, e √2 = 1.41421... . As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (em latim, raiz).

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de recta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raíz quadrada do inicial[1].

Índice

[esconder]

[editar] Propriedades

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:





para todo o número real x (ver valor absoluto)

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional.

Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:


Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:

A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por


As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial:



para |x| <>

[editar] Meios de calcular a Raiz quadrada

[editar] Calculadoras

As calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas para computar a função exponencial e o logaritmo natural, e elas computam a raiz quadrada de x usando a identidade: A mesma identidade é explorada quando computamos raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo.

[editar] Método babilônio

Um algoritmo frequentemente usado para aproximar √n é conhecido como "método babilônio" (porque, especula-se, este era o método usado na Mesopotâmia para calcular a raiz quadrada[2], e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação . Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:

  1. Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
  2. Substitua r pela média de r e n/r;
  3. Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.

Este algoritmo é quadraticamente convergente, que signfica que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição.

Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão

[editar] Método Babilônio (exemplificado)

O método babilônio é um método que dá uma aproximação da raiz quadrada. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas) . Mas se for para cálculos simples, é bom, pois não é necessário tanto rigor.

Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.

  1. Ache o quadrado perfeito que mais se aproxima com o número.

5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81

Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.

  1. Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A.
  1. Divida o número original por A, até que se tenha o dobro de casas decimais que A.

66:8 = 8,2

Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B

  1. Somamos A com B e dividimos por 2. Esse número chamaremos de C.

8 + 8,2 = 16,2
16,2 : 2 = 8,1

  1. Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C até que se tenha o dobro de casas decimais de C. O resultado chamaremos de D.

66 : 8,1 = 8,148

  1. Somamos C e D e dividimos por 2.Esse número chamaremos de E.

8,124

Essa seria a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. E como geralmente não se necessita uma raiz quadrada precisíssima, então podemos dizer que é desnecessário prosseguir. Mas caso queira continuar, o algoritmo continua o mesmo e você pode tentar chegar á 10 ou 12 casas decimais. Mas o resultado seria um pouco impreciso.

Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora: 8,124038405... Ou seja esse método é bom para achar a raiz quadrada.

[editar] Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa

Este método, apesar de muito mais lento que o método Babilônio, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raíz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito.

Escreva o número em decimal e divida-o em pares de digitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raíz quadrada final aparecerá acima do número original.

Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver não mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756?

       ____1__2._3__4_
      |  01 52.27 56                        1
x         01                   1*1=1         1
        ____                                __
         00 52                              22
2x        00 44                22*2=44        2
        _______                             ___
            08 27                           243
24x          07 29             243*3=729       3
           _______                          ____
               98 56                        2464
246x            98 56          2464*4=9856      4
              _______
               00 00          O algoritmo termina:  a resposta é 12,34

Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100 . que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados.

[editar] Equação de Pell

A equação de Pell é um método para encontrar aproximações racionais de raízes quadradas das integrais.

[editar] Encontrando Raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell's este é um método para obter a Raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter nós começamos com a seguinte sequência:

  1. 27 - 1 = 26
  2. 26 - 3 = 23
  3. 23 - 5 = 18
  4. 18 - 7 = 11
  5. 11 - 9 = 2

5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

e

  1. 200 - 101 = 99

O próximo número é 1.

e

  1. 9900 - 1021 = 8879
  2. 8879 - 1023 = 7856
  3. 7856 - 1025 = 6831
  4. 6831 - 1027 = 5804
  5. 5804 - 1029 = 4775
  6. 4775 - 1031 = 3744
  7. 3744 - 1033 = 2711
  8. 2711 - 1035 = 1676
  9. 1676 - 1037 = 639

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

[editar] Método das Frações Continuadas

Irracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2.

[editar] Raiz quadrada de números complexos

Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raíz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| <>

Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada:


onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original.

Perceba que, por causa da natureza descontínua da funão raiz quadrada no plano complexo, a regra √(zw) = √(z)√(w) é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1:


A terceira igualdade não pode ser justificada.

Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, √(zw) = ±√(z)√(w), é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que √(c²) = ±c, portanto √(a²b²) = ±ab e finalmente √(zw) = ±√(z)√(w), com o uso de a = √(z) e b = √(w).

[editar] Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos √A = B.

Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.

[editar] Raiz quadrada dos 20 primeiros números inteiros positivos

√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418

[editar] Ver também

[editar] Referências

  1. ↑ Construções geométricas rigorosas
  2. ↑ Fowler; Eleanor Robson (November 1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context". Historia Mathematica 25 (4): 366-378.)

[editar] Ligações externas

Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada"
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